Решение уравнений. 6-й класс.
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Например:
2х = 14
Число, которое можно подставить вместо неизвестного, и при этом равенство останется равенством, называется решением или корнем уравнения. Например, число 8 не является решением данного уравнения, поскольку после его подстановки получаем неверную запись 16 = 14. Решением является число 7, так как после его постановки получаем верную запись 14 = 14.
Решить уравнение – это значит найти его корни.
Решение уравнения состоит в преобразовании его (один раз или несколько), таким образом, что в результате будет получено уравнение, левая часть которого будет содержать искомое неизвестное, а правая – его числовое значение. Например, x = 5.
После каждого преобразования уравнения получается новое уравнение, причем корни обоих уравнений одинаковы. Такие уравнения называются равносильными, а само преобразование называется тождественным.
При решении уравнений применяются следующие тождественные преобразования:
1. Приведение (то есть сложение) подобных слагаемых.
Подобными слагаемыми называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. При этом коэффициенты подобных слагаемых могут быть различны. Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Пример:
19x + 4x - 22x = 100 – 2 (1)
Все подобные слагаемые (19x, 4x, -22x) с одинаковой буквенной частью x, находятся в левой части уравнения. Сложим их коэффициенты:
19 + 4 – 22 = 1,
получим единицу, которую умножим на буквенную часть x и запишем новое уравнение:
1х = 100 – 2
Это новое уравнение равносильно уравнению (1), так как получено в результате тождественного преобразования. Идем дальше. Убираем единицу, которую не принято писать в математических уравнениях, от 100 отнимаем 2 и получаем новое уравнение, которое является одновременно решением уравнения:
х = 98.
2. Раскрытие или создание скобок.
Основано на разделительном свойстве умножения:
(a + b)c = ac + bc справедливо для любых чисел a, b и c.
Раскрытием скобок называется замена выражения (a + b)c на ac + bc.
Иногда при решении уравнений требуется операция обратная раскрытию скобок – создание скобок. Пример решения такого уравнения мы рассмотрим далее.
3. Перенос любого члена уравнения из одной части уравнения в другую с переменой его знака на противоположный.
4. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
5. Перемена местами частей уравнения.
6. Упрощение дробей, если они есть в уравнении.
Вообще-то тождественных преобразований больше. (Тождественное преобразование – это замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным, но отличным по форме). Однако нам для решения уравнений 6-го класса этих вполне достаточно.
Рассмотрим пример решения уравнения:
12(2x - 1) + 8x = 14x + 24
раскрываем скобки, то есть, вместо 12(2x - 1) записываем 24x - 12, получаем следующее равносильное уравнение:
24x – 12 + 8x = 14x + 24,
переносим с переменой знака член уравнения -12 из левой части уравнения в правую, а член уравнения 14x из правой в левую часть уравнения, получаем:
24x + 8x – 14x = 24 + 12,
складываем подобные слагаемые 24x + 8x – 14x = 18x и 24 + 12 =36, получаем:
18x = 36,
делим обе части уравнения на 18, получаем решение:
x = 2.
Рассмотрим пример, в котором для решения уравнения понадобится создавать скобки:
xy – x = 12y – 12
Создаем скобки и в левой части вместо xy – x пишем x(y - 1), а в правой вместо 12y – 12 пишем 12(y – 1) и получаем уравнение:
x(y – 1) = 12(y – 1)
делим обе части уравнения на (y - 1) и получаем решение:
x = 12.
Написать автору
<< Назад
